यदि sumlimits_{r = 0}^{25} {left( {^{50}{C_r} | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $^{n}{C_r} \cdot ^{n-r}{C_k} = ^{n}{C_k} \cdot ^{n-k}{C_{r}}$ होता है।इस सर्वसमिका का उपयोग दिए गए व्यंजक में करने पर:$^{50}{C_r}

Vedclass · Accepted Answer

$2^{25}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $^{n}{C_r} \cdot ^{n-r}{C_k} = ^{n}{C_k} \cdot ^{n-k}{C_{r}}$ होता है।इस सर्वसमिका का उपयोग दिए गए व्यंजक में करने पर:$^{50}{C_r} \cdot ^{50-r}{C_{25-r}} = ^{50}{C_{25}} \cdot ^{50-25}{C_{r}} = ^{50}{C_{25}} \cdot ^{25}{C_r}$.अब,इस मान को योगफल में रखने पर:$\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_r} \cdot ^{50 - r}{C_{25 - r}}} \right)} = \sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_{25}} \cdot ^{25}{C_r}} \right)}$.चूंकि $^{50}{C_{25}}$,$r$ से स्वतंत्र है,इसलिए इसे योगफल से बाहर लिया जा सकता है:$= ^{50}{C_{25}} \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}{C_r}}$.हम जानते हैं कि $\sum\limits_{r = 0}^{n} {^{n}{C_r} = 2^n}$ होता है। अतः,$\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}{C_r} = 2^{25}}$.इस प्रकार,व्यंजक $^{50}{C_{25}} \cdot 2^{25}$ हो जाता है।इसे $K \cdot ^{50}{C_{25}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 2^{25}$ प्राप्त होता है।

यदि $\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_r} \cdot ^{50 - r}{C_{25 - r}}} \right) = K\left( {^{50}{C_{25}}} \right)}$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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